Quantum Computing (5)

(Symbolbild von Gerd Altmann auf Pixabay)

Mit dem im letzten Teil vorgestellten Algorithmus können wir ein Problem lösen, das klassisch unlösbar ist: Wir konnten feststellen, ob eine zweitwertige Funktion konstant ist oder nicht, wobei wir sie nur einmal ausgeführt haben. Möglich war dies durch die Zusammenschaltung zweier Qubits und anschließende Überlagerung, wobei wir Interferenzen geschickt ausgenutzt haben.

Dabei haben wir ziemlich viel herumgerechnet und sind zwischen der Komponentendarstellung und der Vektordarstellung der Zustände hin- und hergesprungen, wie es gerade passte. Ich möchte das Ganze jetzt einmal konsequent in der Komponentendarstellung vorführen. Schreiben wir erst einmal auf, was wir schon haben:

Die Hadamard-Matrix, mit der wir die Superposition erzeugen, hat die Form

    \[H_2 =  \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&-1&1&-1 \\ 1&1&-1&-1 \\ 1&-1&-1&1 \end{pmatrix}.\]

Die F_k wirken auf die Basisvektoren wie folgt:

    \[\begin{split} F_1 &: \ket{00} \rightarrow \ket{00}, \ket{01} \rightarrow \ket{01},\ket{10} \rightarrow \ket{10},\ket{11} \rightarrow \ket{11}, \\F_2 &: \ket{00} \rightarrow \ket{01}, \ket{01} \rightarrow \ket{00},\ket{10} \rightarrow \ket{11},\ket{11} \rightarrow \ket{10}, \\ F_3 &:  \ket{00} \rightarrow \ket{00}, \ket{01} \rightarrow \ket{01},\ket{10} \rightarrow \ket{11},\ket{11} \rightarrow \ket{10}, \\F_4 &: \ket{00} \rightarrow \ket{01}, \ket{01} \rightarrow \ket{00},\ket{10} \rightarrow \ket{10},\ket{11} \rightarrow \ket{11}.\end{split}\]

Basisvektoren werden also auf andere Basisvektoren abgebildet, d.h. die Basisvektoren werden vertauscht (im Fall von F_1 haben wir sogar die Identität). Die F_k sind also Permutationsmatrizen, und man erhält durch genaues Hinsehen die Matrizen:

    \[ F_1 =   \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},   F_2 =   \begin{pmatrix} 0&1&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&1&0 \end{pmatrix},  F_3 =   \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&1&0 \end{pmatrix},   F_4 =   \begin{pmatrix} 0&1&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}. \]

Da die F_k Permutationsmatrizen sind, sind sie auch automatisch unitär. Der Beweis ist eine schöne Übungsaufgabe!

Hier ist noch einmal unsere Schaltung:

Rendered by QuickLaTeX.com

Wir haben also zuerst ein Hadamard-Gatter, dann ein F_k und dann noch einmal ein Hadamard-Gatter. Da die Operationen linear sind, kann man sie zu einer einzigen zusammenfassen, zumindest mathematisch. Dazu müssen wir die entsprechenden Matrizen einfach miteinander multiplizieren. Das ist eigentlich einfach, aber man muss schon aufpassen, dass man keine Fehler macht. Die Matrizen haben wir oben hingeschrieben, und hier kommen jetzt die Ergebnisse:


    \[\begin{split}H_2F_1H_2 &=   \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},  H_2 F_2   H_2 =   \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix},  \\H_2 F_3  H_2  &=   \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&1&0 \\ 0&1&0&0 \end{pmatrix},  H_2 F_4  H_2  =   \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&0&0&-1 \\ 0&0&1&0 \\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix}.\end {split} \]


Erinnern wir uns: F_1 und F_2 waren die konstanten Funktionen. Wir erhalten hier bei der Kombination mit H_2 jeweils die Identitätsmatrix! Wir stören uns dabei nicht an den Minuszeichen vor der 1 im Fall von F_2, denn wir wissen, dass \ket{a} und -\ket{a} denselben Zustand beschreiben, lediglich die Phase unterscheidet sich. Im Fall von F_3 und F_4 werden die beiden Basisvektoren \ket{01} und \ket{11} miteinander vertauscht! Und das haben wir uns in Teil 4 der Reihe zunutze gemacht, als wir den Algorithmus auf \ket{01} angewandt haben. Eine konstante Funktion bildet \ket{01} auf sich selbst ab, eine balancierte Funktion bildet den Zustand auf \ket{11} ab. So konnten wir mit einer Anwendung der Funktion entscheiden, ob sie konstant oder balanciert ist. (Mit \ket{00} oder \ket{10} hätte das nicht funktioniert.)

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