Lösungen Band I, Intermezzo II

Aufgabe II.1

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral für jeden der folgenden Ausdrücke, indem Sie den Prozess der Ableitung umkehren und eine Konstante addieren:

  • f(t) = t^4
  • f(t) = \cos t
  • f(t) = t^2 -2

Lösung

    \[\begin{split}&\int t^4 \;dt = \frac{t^5}{5} + c\\&\int \cos t \;dt = \sin t + c\\&\int t^2 - 2 \;dt = \frac{t^3}{3} -2t + c\end{split}\]


Aufgabe II.2

Verwenden Sie den Fundamentalsatz der Analysis, um jedes Integral aus Aufgabe II.1 in den Grenzen von t=0 bis t=T auszuwerten.

Lösung

    \[\begin{split}&\int_0^T t^4 \;dt = \frac{t^5}{5}|_0^T = \frac{T^5}{5} - 0 = \frac{T^5}{5}\\&\int_0^T \cos t \;dt = \sin t|_0^T = \sin T - \sin 0 = \sin T\\&\int_0^T t^2 - 2 \;dt = \frac{t^3}{3} -2t|_0^T = \frac{T^3}{3} - 2T\end{split}\]


Aufgabe II.3

Betrachten Sie die Ausdrücke in Aufgabe II.1 als Beschleunigung eines Teilchens. Integrieren Sie sie einmal nach der Zeit, um die Geschwindigkeiten zu bestimmen, und ein zweites Mal, um die Bahnen zu erhalten. Da wir t für die Integrationsgrenze verwenden, benutzen wir den Parameter t' im Integral. Integrieren Sie von t'=0 bis t'=t.

  • v(t) = \int_{0}^{t} t'^4 dt'
  • v(t) = \int_{0}^{t} \cos t' dt'
  • v(t) = \int_{0}^{t} (t'^2 - 2) dt'

Lösung:

Für die Geschwindigkeiten ergeben sich:

    \[\begin{split}v(t) &= \int_{0}^{t} t'^4 \;dt' = \frac{t^5}{5} (+ v_0)\\v(t) &= \int_{0}^{t} \cos t' \;dt' = \sin t (+ v_0)\\v(t) &= \int_{0}^{t} (t'^2 - 2)\; dt' = \frac{t^3}{3} - 2t (+ v_0).\end{split}\]

Hierbei habe ich eine mögliche Anfangsgeschwindigkeit v_0 in Klammern eingefügt, die als Integrationskonstante erscheint.


Die Funktionen für die Bahnen lauten:

    \[\begin{split}s(t) &= \int_{0}^{t} \frac{t'^5}{5} \;dt' = \frac{t^6}{30}\\s(t) &= \int_{0}^{t} \sin t' \;dt' = -\cos t\\s(t) &= \int_{0}^{t} \frac{t'^3}{3} - 2t'\; dt' = \frac{t^4}{12} - t^2.\end{split}\]

Diese Rechnung gilt nur, wenn man die Anfangsgeschwindigkeit v_0=0 setzt. Diese tritt ja als Integrationskonstante bei der ersten Integration auf, genauso wie eine weitere Konstante x_0 bei der zweiten Integration. Ganz korrekt lauten die Lösungen daher:

    \[\begin{split}s(t) &= \frac{t^6}{30}+ v_0t + s_0\\s(t) &= -\cos t + v_0t + s_0\\s(t) &= \frac{t^4}{12} - t^2+ v_0t + s_0.\end{split}\]

Vielen Dank an L.E. für den Hinweis!


Aufgabe II.4

Rechnen Sie \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x\; dx komplett aus.

Lösung

Mit Hilfe der partiellen Integration erhalten wir

    \[\begin{split}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x\; dx &= x \sin x |_0^{p/2} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\; dx\\&= \frac{\pi}{2} - (-\cos x)|_0^{\pi/2}\\&= \frac{\pi}{2} - 1.\end{split}\]

2 Kommentare

  1. 1. In den Lösungen von II.3 sind fälschlicherweise als Resultate der zweiten Integration jeweils Beschleunigungen statt Ortsfunktionen angegeben.
    2. Müsste in der dritten Funktion in II.3. nicht bei s(t‘) in den Grenzen 0 bis t der Term v_0*t addiert werden? Also s(t) = t^4/12 – t^2 + v_0*t ?

    1. Hallo,

      vielen Dank für den Hinweis. Ich habe das mit den Ortsfunktionen korrigiert.

      Es stimmt natürlich, bei den ganzen Rechnungen müssten noch die Integrationskonstanten addiert werden. Ich habe das oben ergänzt.

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