Lösungen Band II, Vorlesung 1

Aufgabe 1.1

a) Beweisen Sie mit Hilfe der Axiome für innere Produkte:

    \[ \big(\bra{A} + \bra{B}\big)\ket{C}= \braket{A|C} + \braket{B|C}. \]


b) Beweisen Sie: \braket{A|A} ist eine reelle Zahl.

Lösung:

a) Es gilt

    \begin{align*}\bra{A} + \bra{B})\ket{C} &= \big( \bra{C} (\ket{A} + \ket{B}) \big)^*\\&= \braket{C|A}^* + \braket{C|B}^* \\&=\braket{A|C} + \braket{B|C}.\end{align*}

b) Da \braket{A|B} = \braket{B|A}^* ist, gilt \braket{A|A} = \braket{A|A}^*, d.h. der Imaginärteil von \braket{A|A} muss 0 sein und \braket{A|A} damit reell.

Aufgabe 1.2

Zeigen Sie, dass das in Gl. 1.2 definierte Produkt die Axiome für innere Produkte erfüllt.

Lösung:

In Gl. 1.2 wird ein Skalarprodukt durch

    \[ \braket{B|A} = \sum_{i=1}^5 b_i^* a_i\]


definiert. Wir müssen die Linearität in der zweiten Komponente und die Antisymmetrie beweisen.

Linearität:

    \begin{align*}\braket{B|A+C} &= \sum_{i=1}^5 b_i^* (a_i + c_i)\\&= \sum_{i=1}^5 (b_i^*a_i + b_i^*c_i)\\&= \sum_{i=1}^5 (b_i^*a_i) +\sum_{i=1}^5( b_i^*c_i)\\&= \braket{B|A} + \braket{B|C}.\end{align*}

Antisymmetrie:

    \begin{align*}\braket{A|B}^* &= \bigg(\sum_{i=1}^5 a_i^* b_i \bigg)^*\\&= \sum_{i=1}^5 \big(a_i^*b_i \big)^*\\&= \sum_{i=1}^5 \big(a_i^{**}b_i^* \big)\\&= \sum_{i=1}^5 \big( b_i^* a_i \big)\\&= \braket{B|A}.\end{align*}