Aufgabe 5.1
Beweisen Sie diese Behauptung.
Lösung:
Zu zeigen ist, dass jede hermitesche 2×2-Matrix in folgender Form geschrieben werden kann:
Wir wissen, dass eine hermitesche Matrix die Form
hat, wobei und
reell sind und
komplex ist. Es muss also gelten:
Setzen wir
so haben wir unsere Darstellung gefunden.
Aufgabe 5.2
- Zeigen Sie, dass
und
gilt.
- Zeigen Sie, dass
gilt.
- Zeigen Sie mit diesen Relationen, dass gilt:
Lösung:
Die Aufgabe wurde teilweise schon in Abschnitt 5.4 auf S. 92f bewiesen.
1) Wir zeigen zuerst: Sind die Eigenwerte von
mit Eigenvektoren
, so sind
die Eigenwerte von
mit denselben Eigenvektoren
:
Damit ist nach Definition von
Dabei haben wir ausgenutzt, dass gilt, da die gesamte Verteilung um
verschoben wurde.
Derselbe Beweis gilt natürlich auch für .
2) Es ist
Dabei ist zu beachten, dass und
reelle Zahlen sind und damit z.B.
gilt.
3) Schließlich gilt: