Lösungen Band I, Intermezzo III

Aufgabe III.1

Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung — incl. aller gemischten Ableitungen — der folgenden Funktionen:

  • x^2 + y^2
  • \sin(x y)
  • \frac{x}{y} e^{(x^2 + y^2)}
  • e^x\cos y

Lösung:

Die Ableitungen für x^2 + y^2:

    \[\pd{(x^2 + y^2)}{x} = 2x, \;\;\;\;\;\; \pd{(x^2 + y^2)}{y} = 2y\]


    \[\pdd{(x^2 + y^2)}{x} = \pd{(2x)}{x} = 2,\;\;\;\;\;\; \pdd{(x^2 + y^2)}{y} = \pd{(2y)}{y} = 2\]


    \[\frac{\partial^2(x^2+y^2)}{\partial x \partial y} = \pd{(2x)}{y} = 0,\;\;\;\;\;\;\frac{\partial^2(x^2+y^2)}{\partial y \partial x} = \pd{(2y)}{x} = 0.\]

Die Ableitungen für \sin (xy):

    \[\pd{\sin (xy)}{x} = y \cos(xy), \;\;\;\;\;\; \pd{\sin (xy)}{y} = x \cos(xy)\]


    \[\pdd{y \sin(xy)}{x} = \pd{(y \cos(xy))}{x} = -y^2 \sin(xy)\]


    \[ \pdd{ x \sin(xy)}{y} = \pd{( x \cos(xy))}{y} = -x^2 \sin(xy)\]


    \[ \frac{\partial^2(y \sin(xy))}{\partial x \partial y} = \pd{(x \cos(xy))}{x} = \cos(xy) - xy \sin(xy)\]


    \[ \frac{\partial^2(x \sin(xy))}{\partial y \partial x} = \pd{(y \cos(xy))}{y} = \cos(xy)- xy \sin(xy). \]

Wie man sieht, stimmen die gemischten zweiten Ableitungen überein, d.h. es kommt nicht auf die Reihenfolge der Ableitung an. Daher verzichte ich bei den folgenden Beispielen auf die doppelte Berechnung.

Die Ableitungen für \frac{x}{y} e^{(x^2 + y^2)}:

    \[\pd{}{x}\left[\frac{x}{y} e^{(x^2 + y^2)}\right] = \frac{1}{y} e^{(x^2 + y^2)} + \frac{x}{y} 2x e^{(x^2 + y^2)} = \frac{1+x}{y}e^{(x^2 + y^2)}\]


    \[\pd{}{y}\left[\frac{x}{y} e^{(x^2 + y^2)}\right] = -\frac{x}{y^2} e^{(x^2 + y^2)} + \frac{x}{y} 2y e^{(x^2 + y^2)} = (-\frac{x}{y^2} + 2x) e^{(x^2 + y^2)}\]

    \[\begin{split}\pdd{}{x}\left[\frac{x}{y} e^{(x^2 + y^2)}\right] &= \pd{}{x} \left[\frac{1+x}{y}e^{(x^2 + y^2)}\right]\\&= \frac{2x}{Nenner}\end{split}\]

    \[ \pdd{ }{y}\left[\frac{x}{y} e^{(x^2 + y^2)}\right] = \pd{}{y}\left[-\frac{x}{y^2} e^{(x^2 + y^2)} + \frac{x}{y} 2y e^{(x^2 + y^2)}\right] = -x^2 \sin(xy)\]

    \[ \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}\left[\frac{x}{y} e^{(x^2 + y^2)}\right] = \pd{}{y} = \cos(xy) - xy \sin(xy)\]


    \[ \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}\left[\frac{x}{y} e^{(x^2 + y^2)}\right] = \pd{}{x} = \cos(xy)- xy \sin(xy). \]

Die Ableitungen für e^x \cos y:

    \[\pd{(e^x \cos y)}{x} = e^x \cos y, \;\;\;\;\;\; \pd{(e^x \cos y)}{y} = -e^x \sin y\]


    \[\pdd{(e^x \cos y)}{x} = \pd{(e^x \cos y)}{x} = e^x \cos y\]


    \[ \pdd{( e^x \cos y)}{y} = \pd{(-e^x \sin y)}{y} = -e^x \cos y\]


    \[ \frac{\partial^2(e^x \cos y)}{\partial x \partial y} = \pd{(e^x \cos y)}{y} = -e^x \sin y\]

Aufgabe III.2

Betrachten Sie die Punkte

  • (x = \frac{\pi}{2},y = -\frac{\pi}{2} )
  • (x = -\frac{\pi}{2},y = \frac{\pi}{2} )
  • (x = -\frac{\pi}{2},y = -\frac{\pi}{2} )

Sind diese Punkte stationäre Punkte der folgenden Funktionen?
Wenn ja, welchen Typ haben sie?

  • F(x,y)= \sin x + \sin y
  • F(x,y)= \cos x + \cos y

Lösung:

Stationäre Punkte einer Funktion sind Punkte, in denen die ersten Ableitungen der Funktion verschwinden. Wir berechnen daher die ersten Ableitungen der angegebenen Funktionen und setzen die Punkte ein.

F(x,y) =\sin x + \sin y

    \[\pd{F}{x} (\sin x + \sin y) =\cos x, \;\;\;\; \pd{F}{y} (\sin x + \sin y) =\cos y \]

In allen Punkten mit x,y = \pm \frac{\pi}{2} sind \cos x und \cos y gleich, d.h. alle drei Punkte sind stationär.

F(x,y) =\cos x + \cos y

    \[\pd{F}{x} (\cos x + \cos y) =-\sin x, \;\;\;\; \pd{F}{y} (\cos x + \cos y) =-\sin y \]


In allen Punkten mit x,y = \pm \frac{\pi}{2} sind \sin x und \sin y entweder 1 oder -1, d.h. keiner der drei Punkte ist stationär.

Funktion 1:

Im ersten Fall F(x,y) =\sin x + \sin y bestimmen wir noch den Typ der stationären Punkte. Dazu brauchen wir die zweiten Ableitungen:

    \[ \pdd{F}{x} = -\sin x,\;\;\;\; \pdd{F}{x} = -\sin y,\;\;\;\; \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = 0 \]


Die Hesse-Matrix lautet also

    \[H=\begin{pmatrix}-\sin x & 0 \\ 0 & -\sin y\end{pmatrix}\]


Es ist damit

    \[\text{spur} H = - (\sin x + \sin y) \;\;\;\; \det H = \sin x \sin y. \]

Der Typ der stationären Punkte ergibt sich nun wie im Kasten auf S. 64 (Band I) beschrieben:

Punkt 1:

    \[( x = \frac{\pi}{2},y = -\frac{\pi}{2} ) \longrightarrow \sin x = 1, \sin y = -1\]


Daher gilt \text{det} H = -1, die Determinante ist also negativ und (\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}) ein Sattelpunkt.

Punkt 2:


    \[( x = \frac{\pi}{2},y = -\frac{\pi}{2} ) \longrightarrow \sin x = -1, \sin y = 1\]


Wieder ist \text{det} H = -1, und damit ( x = \frac{\pi}{2},y = -\frac{\pi}{2} ) ein Sattepunkt.

Punkt 3:


    \[( x = -\frac{\pi}{2},y = -\frac{\pi}{2} ) \longrightarrow \sin x = -1, \sin y = -1\]


Daher gilt \text{det} H = 1, die Determinante ist also positiv. Es gilt weiter \text{spur} H = 2 > 0, und damit ist (-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}) ein lokales Minimum.

3 Kommentare

  2. Hallo Heiko Sippel,

    mit Ihrer großartigen Hilfe arbeite ich mich durch die Aufgaben des Theoretischen Minimums von Leonard Susskind. Vielen Dank für ihre Unterstützung (und die hervorragende Übersetzung)!

    Allerdings habe ich einige Abweichungen gefunden – könnten Sie diese mal überprüfen – das wäre sehr schön, danke!

    III.1, Aufgabe 2: sin(xy) ?

    Bei der part. Abl. 2. Ord. nach x steht geschrieben: d^2(y cos(xy))/dx^2
    Müßte es nicht heißen: d^2(sin(xy))/dx^2
    Bei der part. Abl. 2. Ord. nach y steht geschrieben: d^2(x cos(xy))/dy^2
    Müßte es nicht heißen: d^2(sin(xy))/dy^2
    Bei der gem. part. Abl. 2. Ord. nach xy steht geschrieben: d^2(y cos(xy))/dxdy
    Müßte es nicht heißen: d^2(sin(xy))/dxdy
    Bei der gem. part. Abl. 2. Ord. nach yx steht geschrieben: d^2(x cos(xy))/dydx
    Müßte es nicht heißen: d^2(sin(xy))/dydx

    III.1, Aufgabe 3: x/y e^(x^2+y^2) ?

    Bei der part. Abl. 1. Ord. nach x steht bei mir noch der Faktor „2x“. Den finde
    ich bei Ihnen nicht? Wäre ein Faktor „2x“ falsch? Sie schreiben: x+1/y e^(x^2+y^2).
    Mit dem Faktor „2x“ komme ich auf: 2x^2+1/y e^(x^2+y^2)

    Daraufhin erhalte ich auch bei der part. Abl. 2. Ord nach x ein anderes Ergebnis:
    4x^3+6x+1/y e^(x^2+y^2) statt 2x/Nenner

    Und in der Folge weicht auch die gem. part. Abl. 2. Ord. nach xy von Ihrer Lösung ab:
    (4x^2+2-(2x^2+1/y^2)) e^(x^2+y^2) statt cos(xy)-xy sin(xy)

    Antworten

Hinterlasse einen Kommentar.

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert