Lösungen Band I, Vorlesung 8

Aufgabe 8.1

Zeigen Sie ausgehend von der Lagrange-Funktion $\frac{m\dot{x}^2}{2} - \frac{k}{2} x^2$ , dass bei einer Transformation der Variablen der Form $q = (k\,m)^\frac{1}{4}x$ die Lagrange-Funktion die Form von Gl. 8.14 annimmt. Wie hängen $k$ , $m$ und $\omega$ zusammen?

Lösung:

Aus der Definition $q = (k\,m)^\frac{1}{4}x$ erhalten wir durch Auflösen nach $x$ die Ersetzungen

$x = \frac{q}{(km)^{1/4}} \Rightarrow x^2 = \frac{q^2}{\sqrt{km}}$

und durch Differenzieren

$\dot{x} = \frac{\dot{q}}{(km)^{1/4}} \Rightarrow \dot{x}^2 = \frac{\dot{q}^2}{\sqrt{km}}.$

Eingesetzt in $\frac{m\dot{x}^2}{2} - \frac{k}{2} x^2$ erhalten wir

$\Lag = \frac{m\dot{q}^2}{2 \sqrt{km}} - \frac{k}{2 \sqrt{km}} q^2 = \frac{\dot{q}^2}{2 \sqrt{k/m}} - \frac{\sqrt{k/m}}{2 } q^2$

Setzt man $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ , so erhält man die Lagrange-Funktion in der Form aus Gl. 8.14:

$\Lag = \frac{1}{2 \omega} \dot{q}^2 - \frac{\omega}{2} q^2.$

Aufgabe 8.2:

Berechnen Sie ausgehend von Gl. 8.14 die Hamilton-Funktion bezogen auf die Variablen $p$ und $q$ .

Lösung:

Zuerst berechnen wir den kanonischen Impuls:

$p=\pd{\Lag}{\dot{q}} = \frac{\dot{q}}{\omega}.$

Damit ergibt sich für die Hamilton-Funktion

$\Ham = p \, \dot{q} - \Lag = \frac{\dot{q}^2}{\omega} - \left(\frac{1}{2 \omega} \dot{q}^2 - \frac{\omega}{2} q^2 \right) = \frac{1}{2 \omega} \dot{q}^2 + \frac{\omega}{2} q^2.$

Aufgabe 8.1

Lösung:

Aufgabe 8.2:

Lösung:

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