Lösungen Band IV, Vorlesung 5

Aufgabe 5.1

Zeigen Sie, das bei einer gegebenen Metrik $g_{\mu\nu}(X)$ die Euler-Lagrange-Gleichung 5.16 zur Minimierung der Eigenzeit längs einer Bahn in der Raumzeit

$\frac{d}{dt} \pd{\Lag}{\dot{X}^m}= \pd{\Lag}{X^m},$

wobei die Lagrange-Funktion $\Lag$ gegeben ist durch

$\mathcal{L} = -m \sqrt{-g_{\mu\nu}(X) \frac{dX^\mu}{dt} \frac{dX^\nu}{dt}},$

äquivalent ist zur Definition einer Geodäten gemäß 5.06, die besagt, dass der Tangentenvektor längs einer Bahn in der Raumzeit konstant ist:

$\frac{d^2 X^\mu}{d\tau^2} = - \Gamma^\mu_{\sigma\rho} \frac{dX^\sigma}{d\tau} \frac{dX^\rho}{d\tau}.$

Lösung:

tbd

Aufgabe 5.2

Zeigen Sie, dass aus der Gl. 5.36 für die Energie und Gl. 5.37 für $\dot{r}$ folgt

$\dot{r}^2 \approx \sqrt{\frac{r-2MG}{2MG}} \,\,\,\,\text{für} \,\,\, r\rightarrow 2MG$

Lösung:

Gl. 5.36:

$\Ham = \frac{m (1-2MG/r)}{\sqrt{(1-2MG/r) - \dot{r}/(1-2MG/r)}}$

Gl. 5.37:

$\dot{r}^2 = \bigg( 1 - \frac{2MG}{r}\bigg)^2 - \frac{(1- \frac{2MG}{r})^3}{E^2}$

tbd