Aufgabe 1.1
Zeigen Sie, dass die -Koordinate des Punkts
in Abb. 1.6 gleich
ist.
Lösung:
Dem Bild entnehmen wir, dass der Punkt der Schnittpunkt der Geraden
mit der Gerade
ist. Dies setzen wir in die Lorentz-Tranformation für
ein und erhalten
also
Aufgabe 1.2
In Abb. 1.8 kehrt der reisende Zwilling nicht nur die Richtung um, sondern wechselt dabei auch in ein anderes Bezugssystem.
a) Verwenden Sie die Lorentz-Transformation, um zu zeigen, dass vor der Umkehr die Beziehung zwischen den Zwillingen tatsächlich symmetrisch ist. Jeder Zwilling sieht den anderen langsamer altern als sich selbst.
b) Verwenden Sie Raumzeit-Diagramme, um zu zeigen, wie der abrupte Wechsel des Reisenden von einem Bezugssystem zum anderem seine Definition der Gleichzeitigkeit verändert. Im neuen Bezugssystem des Reisenden ist sein Zwilling plötzlich viel älter, als er es im ursprünglichen System des Reisenden war.
Lösung:
a) Sehen wir uns Arts Reise an, solange er nicht umkehrt:
Den Punkt entspricht einem Zeitpunkt in Arts Ruhesystem
. Für den Punkt
ergibt sich der entsprechende Zeitpunkt
für Lenny:
Für Lenny ist

Aber diese Sicht ist völlig symmetrisch! Betrachten wir die Situation einmal mit Art als ruhendem Beobachter, der Lenny auf dem Planeten Erde in umgekehrter Richtung davonfliegen sieht:
Die Lorentz-Transformation ist nun für den Punkt


Mit derselben Lorentz-Transformation und vertauschtem


Aufgabe 3.1
Beweisen Sie mit Hilfe der Definition von die Gl. 3.7.
Lösung:
Für Gl. 3.7 gilt nach Definition der :
Aufgabe 5.1
Zeigen Sie, dass dieselbe Bedeutung hat wie
.
Lösung:
und
sind hier einfach nur Summenindizes; das Summenzeichen ist ja durch die Summenkonvention ausgeblendet:
Aufgabe 5.2
Schreiben Sie einen Ausdruck, der die Wirkung von Gl. 5.20 rückgängig macht. Anders ausgedrückt: Wie geht es „zurück“?
Lösung:
Gl. 5.20 beschreibt die Transformation , also das Senken eines Index. Dabei ist
der metrische Tensor mit
und 0 sonst.
Die Umkehrung, also das Heben des Index geschieht einfach durch .
Da in der Speziellen Relativitätstheorie gilt, wird also jeweils nur die 0. Komponente von
mit
multipliziert; die anderen Komponenten bleiben unverändert. In der ART ist der metrische Tensor komplizierter.
Aufgabe 6.1
Gegeben sei die Transformationsgleichung (Gl. 6.3) für die kontravarianten Komponenten eines Vierervektors , wobei
eine Lorentz-Transformations-Matrix ist. Zeigen Sie, dass die Lorentz-Transformation für die kovarianten Komponenten von
lautet, wobei gilt
Lösung:
Die Transformationsgleichung 6.3 lautet
Zum Heben und Senken eines Index benutzen wir den metrischen Tensor (s. auch Aufgabe 5.2.). Es gilt
wobei

Aufgabe 6.2
Ausdruck Gl. 6.28 wurde durch Identifizieren des Index mit der
-Komponente des Raums hergeleitet, und nach Summation über
für die Werte (1, 2, 3). Warum enthält Ausdruck Gl. 6.28 keinen Term mit
?
Lösung:
Wir haben Gl. 6.28




Aufgabe 8.1
Betrachten Sie eine ruhende elektrische Ladung, ohne Anwesenheit weiterer elektrischer oder magnetischer Felder. Wie lautet in Ausdrücken von die
-Komponente des elektrischen Feldes eines Beobachters, der sich mit Geschwindigkeit
in negativer
-Richtung bewegt? Wie lauten die
– und
-Komponenten? Was sind die dazugehörenden Komponenten des magnetischen Feldes?
Lösung:
Der elektromagnetische Feldtensor hat die Gestalt
da kein Magnetfeld existiert. Der Feldtensor für das sich nach links bewegende Teilchen mit Geschwindigkeit

wie in Abschnitt 8.1.1 beschrieben.
Aufgabe 8.2
Art sitzt im Bahnhof, als der Zug vorbeifährt. Wie lautet in Termen von Lennys Feldkomponenten die -Komponente von
, die von Art beobachtet wird? Wie lauten die
– und
-Komponenten? Was sind die dazugehörenden Komponenten des magnetischen Feldes, das Art wahrnimmt?
Lösung:
Aufgabe 8.3
Berechnen Sie in Einsteins Beispiel alle Komponenten der elektrischen und magnetischen Felder im Ruhesystem des Elektrons.
Lösung:
Aufgabe 8.4
Benutzen Sie die zweite Gruppe der Maxwell-Gleichungen aus Tab. 8.1 zusammen mit den Vektoridentitäten aus Abschnitt 8.2.1, um die Kontinuitätsgleichung herzuleiten.
Lösung:
Aufgabe 11.1
Zeigen Sie, dass der Poynting-Vektor ist.
Lösung:
Aufgabe 11.2
Berechnen Sie und
in Termen der Feldkomponenten
und
.
Lösung:
Aufgabe A.1
Leiten Sie Gleichung A.13 aus Gleichung 9.18 her.
Hinweis: Die Ableitung folgt derselben Logik wie die Ableitung von Gleichung 9.22 in Abschnitt 9.2.5.