Lösungen Band III – Das theoretische Minimum

Aufgabe 1.1

Zeigen Sie, dass die $x$ -Koordinate des Punkts $Q$ in Abb. 1.6 gleich $\sqrt{1-v^2}$ ist.

Lösung:

Dem Bild entnehmen wir, dass der Punkt $Q$ der Schnittpunkt der Geraden $x'=1$ mit der Gerade $t=0$ ist. Dies setzen wir in die Lorentz-Tranformation für $x'$ ein und erhalten

$x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}} \stackrel{t=0}{=} \frac{x}{\sqrt{1-v^2}} = 1,$

also

$x = \sqrt{1-v^2}.$

Aufgabe 1.2

In Abb. 1.8 kehrt der reisende Zwilling nicht nur die Richtung um, sondern wechselt dabei auch in ein anderes Bezugssystem.

a) Verwenden Sie die Lorentz-Transformation, um zu zeigen, dass vor der Umkehr die Beziehung zwischen den Zwillingen tatsächlich symmetrisch ist. Jeder Zwilling sieht den anderen langsamer altern als sich selbst.

b) Verwenden Sie Raumzeit-Diagramme, um zu zeigen, wie der abrupte Wechsel des Reisenden von einem Bezugssystem zum anderem seine Definition der Gleichzeitigkeit verändert. Im neuen Bezugssystem des Reisenden ist sein Zwilling plötzlich viel älter, als er es im ursprünglichen System des Reisenden war.

Lösung:

a) Sehen wir uns Arts Reise an, solange er nicht umkehrt:

Den Punkt $t'=1$ entspricht einem Zeitpunkt in Arts Ruhesystem $x'=0$ . Für den Punkt $x'=0, t' = 1$ ergibt sich der entsprechende Zeitpunkt $t$ für Lenny:

$t = \frac{t'-vx'}{\sqrt{1-v^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}.$

Für Lenny ist $t = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} < 1$ , also altert Lenny aus Arts Sicht langsamer, denn es ist weniger Zeit vergangen.

Aber diese Sicht ist völlig symmetrisch! Betrachten wir die Situation einmal mit Art als ruhendem Beobachter, der Lenny auf dem Planeten Erde in umgekehrter Richtung davonfliegen sieht:

Die Lorentz-Transformation ist nun für den Punkt $t=1$ in Lenny Ruhesystem $x=0$ :

$t' = \frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}.$

Mit derselben Lorentz-Transformation und vertauschtem $t$ und $t'$ sieht der auf der Erde davonfliegende Lenny den in der Rakete zurückbleibenden Art langsamer altern. Dies ist das Wesen der SRT: Keines der beiden Bezugssysteme ist bevorzugt. Nur was geschieht am Umkehrpunkt?

Aufgabe 3.1

Beweisen Sie mit Hilfe der Definition von $(\Delta \tau)^2$ die Gl. 3.7.

Lösung:

Für Gl. 3.7 gilt nach Definition der $U^\mu$ :

$(U^0)^2 - (U^1)^2-(U^2)^2-(U^3)^2 = \frac{1 - ((V^1)^2 +(V^2)^2+(V^3)^2) }{1-\vec{v}^2} =1$

Aufgabe 5.1

Zeigen Sie, dass $A^\nu A_\nu$ dieselbe Bedeutung hat wie $A^\mu A_\mu$ .

Lösung:

$\mu$ und $\nu$ sind hier einfach nur Summenindizes; das Summenzeichen ist ja durch die Summenkonvention ausgeblendet:

$A^\nu A_\nu = \sum_{\nu=0}^{3} A^\nu A_\nu = \sum_{\mu=0}^{3} A^\mu A_\mu = A^\mu A_\mu.$

Aufgabe 5.2

Schreiben Sie einen Ausdruck, der die Wirkung von Gl. 5.20 rückgängig macht. Anders ausgedrückt: Wie geht es „zurück“?

Lösung:

Gl. 5.20 beschreibt die Transformation $A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu$ , also das Senken eines Index. Dabei ist $\eta_{\mu\nu}$ der metrische Tensor mit $\eta_{00} = -1, \eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = +1$ und 0 sonst.

Die Umkehrung, also das Heben des Index geschieht einfach durch $A^\mu = \eta^{\mu\nu}A_\nu$ .

Da in der Speziellen Relativitätstheorie $\eta_{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu}$ gilt, wird also jeweils nur die 0. Komponente von $A$ mit $-1$ multipliziert; die anderen Komponenten bleiben unverändert. In der ART ist der metrische Tensor komplizierter.

Aufgabe 6.1

Gegeben sei die Transformationsgleichung (Gl. 6.3) für die kontravarianten Komponenten eines Vierervektors $A^\nu$ , wobei $\tensor{L}{^\mu_\nu}$ eine Lorentz-Transformations-Matrix ist. Zeigen Sie, dass die Lorentz-Transformation für die kovarianten Komponenten von $A$

$(A')_\mu = \tensor{M}{_\mu^\nu} A_\nu$

lautet, wobei gilt

$M = \eta L \eta.$

Lösung:

Die Transformationsgleichung 6.3 lautet

$(A')^\mu = \tensor{L}{^\mu_\nu} A^\nu.$

Zum Heben und Senken eines Index benutzen wir den metrischen Tensor (s. auch Aufgabe 5.2.). Es gilt

$(A')_\mu = \eta_{\mu\lambda} (A')^\lambda \stackrel{6.3}{=} \eta_{\mu\lambda} \tensor{L}{^\lambda_\sigma} A^\sigma = \eta_{\mu\lambda} \tensor{L}{^\lambda_\sigma} \eta^{\sigma\nu} A_\nu = \tensor{M}{_\mu^\nu} A_\nu,$

wobei $\tensor{M}{_\mu^\nu} = \eta_{\mu\lambda} \tensor{L}{^\lambda_\sigma} \eta^{\sigma\nu}$ ist.

Aufgabe 6.2

Ausdruck Gl. 6.28 wurde durch Identifizieren des Index $p$ mit der $z$ -Komponente des Raums hergeleitet, und nach Summation über $n$ für die Werte (1, 2, 3). Warum enthält Ausdruck Gl. 6.28 keinen Term mit $v_z$ ?

Lösung:

Wir haben Gl. 6.28

$v_x \left( \pd{A_x}{z} - \pd{A_z}{x} \right) + v_y \left( \pd{A_y}{z} - \pd{A_z}{y} \right)$

aus Gl. 6.27

$\dot{X}^n \left( \pd{A_n}{p} - \pd{A_p}{n} \right)$

hergeleitet, indem wir $p=z$ gesetzt und dann für den Summationsindex $n$ die Werte $x,y,z$ eingesetzt haben. Der Summand für $n=z$ lautet

$v_z \left( \pd{A_z}{z} - \pd{A_z}{z} \right)$

und fällt einfach weg.

Aufgabe 8.1

Betrachten Sie eine ruhende elektrische Ladung, ohne Anwesenheit weiterer elektrischer oder magnetischer Felder. Wie lautet in Ausdrücken von $(E_x, E_y, E_z)$ die $x$ -Komponente des elektrischen Feldes eines Beobachters, der sich mit Geschwindigkeit $v$ in negativer $x$ -Richtung bewegt? Wie lauten die $y$ – und $z$ -Komponenten? Was sind die dazugehörenden Komponenten des magnetischen Feldes?

Lösung:

Der elektromagnetische Feldtensor hat die Gestalt

$F_{\mu \nu} = \begin{pmatrix}0 & -E_x & -E_y & -E_z \\+E_x & 0 & 0 & 0 \\+E_y & 0 & 0 & 0 \\+E_z & 0 & 0 & 0\end{pmatrix},$

da kein Magnetfeld existiert. Der Feldtensor für das sich nach links bewegende Teilchen mit Geschwindigkeit $v$ erhält man durch die Transformation

$F'_{\mu \nu} = \tensor{L}{_\mu^\sigma} \tensor{L}{_\nu^\tau} F_{\mu \nu},$

wie in Abschnitt 8.1.1 beschrieben.

Aufgabe 8.2

Art sitzt im Bahnhof, als der Zug vorbeifährt. Wie lautet in Termen von Lennys Feldkomponenten die $x$ -Komponente von $E$ , die von Art beobachtet wird? Wie lauten die $y$ – und $z$ -Komponenten? Was sind die dazugehörenden Komponenten des magnetischen Feldes, das Art wahrnimmt?

Lösung:

Aufgabe 8.3

Berechnen Sie in Einsteins Beispiel alle Komponenten der elektrischen und magnetischen Felder im Ruhesystem des Elektrons.

Lösung:

Aufgabe 8.4

Benutzen Sie die zweite Gruppe der Maxwell-Gleichungen aus Tab. 8.1 zusammen mit den Vektoridentitäten aus Abschnitt 8.2.1, um die Kontinuitätsgleichung herzuleiten.

Lösung:

Aufgabe 11.1

Zeigen Sie, dass $T^{0n}$ der Poynting-Vektor ist.

Lösung:

Aufgabe 11.2

Berechnen Sie $T^{11}$ und $T^{12}$ in Termen der Feldkomponenten $(E_x,E_y,E_z)$ und $(B_x,B_y,B_z)$ .

Lösung:

Aufgabe A.1

Leiten Sie Gleichung A.13 aus Gleichung 9.18 her.

Hinweis: Die Ableitung folgt derselben Logik wie die Ableitung von Gleichung 9.22 in Abschnitt 9.2.5.

Aufgabe 1.1

Lösung:

Aufgabe 1.2

Lösung:

Aufgabe 3.1

Lösung:

Aufgabe 5.1

Lösung:

Aufgabe 5.2

Lösung:

Aufgabe 6.1

Lösung:

Aufgabe 6.2

Lösung:

Aufgabe 8.1

Lösung:

Aufgabe 8.2

Lösung:

Aufgabe 8.3

Lösung:

Aufgabe 8.4

Lösung:

Aufgabe 11.1

Lösung:

Aufgabe 11.2

Lösung:

Aufgabe A.1

Lösung:

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