Lösungen Band I, Vorlesung 1

Aufgabe 1.1

Da der Begriff so wichtig ist in der Theoretischen Physik: Überlegen Sie einmal, was ein geschlossenes System ist, und ob es so etwas wie ein geschlossenes System überhaupt geben kann. Welche Annahmen setzt man für ein geschlossenes System voraus? Was ist ein offenes System?

Lösung:

Diese Aufgabe hat eigentlich keine wirkliche Lösung; es geht eher darum, mal eine Weile über die Begriffe nachzudenken.

Ein System wird auch durch seine Grenze definiert. Was gehört alles zur phyiskalischen Betrachtung? Ein geschlossenes System soll ein System sein, das sich so verhält, als ob nichts jenseits dieser Grenze existiert. Es wird schnell klar, dass es so etwas nicht geben kann. Alles hängt mit allem zusammen, und eine vollständige Isolation ist nicht möglich. Es gibt keine Thermoskanne, die Kaffee unendlich lange heiß hält, und es wird sie nie geben. Schallwellen durchdringen dünne Wände, elektromagnetische Wellen lassen sich durch Mauern nicht aufhalten. Der Sternenhimmel ist von Lichtern erfüllt, die Hunderttausende von Lichtjahren entfernt sind. Umgekehrt lösen die Bewegungen, die ich beim Schreiben diese Textes mache, Gravitationswellen aus, die man in Milliarden von Jahren am Rande des Universums messen könnte.

Es gibt also grundsätzlich keine perfekten geschlossenen Systeme – nichts ist perfekt. Man kann aber versuchen, Systeme so abgeschlossen wie möglich zu gestalten, so dass die Einwirkungen von außen jenseits der Messbarkeit liegen und man diese bei Berechnungen vernachlässigen kann. Dies kann durch entsprechende technische Maßnahmen erfolgen. Sich weit genug ins All zu begeben, um allen Strahlungs- und Schwerkrafteinflüssen so weit wie möglich auszuweichen, ist weit jenseits unserer Möglichkeiten. Hier muss unserer Phantasie helfen in den berühmten Gedankenexperimenten. Diese kann man bequem vom Sofa aus durchführen.

Prinzipiell sind also alle Systeme offene Systeme. Wenn wir aber den etwas weiter gefassten Begriff der Geschlossenheit verwenden, so ist ein System offen, wenn wir in unseren Überlegungen die äußeren Einflüsse unbedingt mit betrachten müssen, etwa Wärme, die nach außen fließt, elektrische Felder oder Gravitation. Erweitern wir unser System, um die Ursachen dieser Einflüsse mit einzubeziehen, ist unser System wieder geschlossen. Evtl. müssen wir aber das ganze Universum in die Rechnung einbeziehen, aber das ist dann recht aufwendig!

Aufgabe 1.2

Können Sie sich ein allgemeines Verfahren denken, um alle Gesetze für ein System mit sechs Zuständen zu klassifizieren?

Lösung:

Zulässig sind alle Bewegungsgesetze, bei denen alle Zustände „einen eingehenden und ausgehenden Pfeil“ haben. Jeder Zustand hat also sozusagen ein Kabel mit einem Stecker und eine Buchse, in die ein Stecker passt. Bei einem gültigen Gesetz steckt in jeder Buchse ein Stecker. Dabei kann in einer Buchse auch der Stecker desselben Zustands ein.

Wir können eine Menge von Zuständen in Untermengen aufteilen, so dass die jeweilige Untermenge jeweils abgeschlossen ist. Man verlässt also nie diese Untermenge, aber jeder Zustand in der Untermenge wird mindestens einmal erreicht, und wenn wir nur endlich viele Zustände haben, werden alle Zustände in einer Untermenge immer wieder durchlaufen; die Zuständige sind wie in einer Perlenkette aufgereiht. Diese Untermenge kann auch nur aus einem einzigen Zustand bestehen.

Daher wäre ein mögliches Vorgehen für die Aufgabe, alle möglichen Gesetze für eine endliche Menge von Zuständen zu finden:

Teile die Menge der Zustände in alle möglichen Untermengen auf.

Ordne die Zustände in den Untermengen in allen möglichen Reihenfolgen an, die dann zyklisch durchlaufen werden..

Versuchen wir es einmal mit drei Elementen. Wir kommen auf die Aufteilungen:

\begin{equation*} \begin{split} (1,2,3) &\Rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \;\;\;\text{oder}\;\;\; 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 3\\ (1), (2,3) &\Rightarrow 1\rightarrow 1, 2\rightarrow 3\rightarrow 2\\ (2), (1,3)&\Rightarrow 2\rightarrow 2, 1\rightarrow, 3\rightarrow 1\\ (3), (1,2)&\Rightarrow 3\rightarrow 3, 1\rightarrow, 2\rightarrow 1\\ (1),(2), (3)&\Rightarrow 1\rightarrow 1, 2\rightarrow 2, 3\rightarrow 3 \end{split}\end{equation*}

$\begin{split}(1,2,3) &\Rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \;\;\;\text{oder}\;\;\; 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 3\\(1), (2,3) &\Rightarrow 1\rightarrow 1, 2\rightarrow 3\rightarrow 2\\(2), (1,3)&\Rightarrow 2\rightarrow 2, 1\rightarrow, 3\rightarrow 1\\(3), (1,2)&\Rightarrow 3\rightarrow 3, 1\rightarrow, 2\rightarrow 1\\(1),(2), (3)&\Rightarrow 1\rightarrow 1, 2\rightarrow 2, 3\rightarrow 3 \end{split}$

Wie man sieht, hat man bei drei Elementen schon sechs mögliche Gesetze. Die Möglichkeiten wachsen sehr schnell an; dies ist bei kombinatorischen Problemen üblich. Ich erspare mir daher die Berechnung der möglichen Gesetze bei sechs Zuständen.

Aufgabe 1.3

Finden Sie heraus, welche der dynamischen Gesetze in den Gleichungen 1.2 bis 1.5 zulässig sind.

Lösung:

$\begin{eqnarray*}N(n+1) &= &N(n) - 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1.2)\\N(n+1) &= &N(n) + 2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1.3)\\N(n+1) &= &N(n)^2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1.4)\\N(n+1) &= &-1^{N(n)} N(n) \;\;\;\;\;\;\; (1.5)\end{eqnarray*}$

Gesetz 1.2

$N(n+1) = N(n) - 1$ : Bei diesem Gesetz gehen wir von einem Zustand $N$ zum Zustand $N-1$ , zählen also rückwärts. (Dies bedeutet natürlich nicht, dass wir in der Zeit zurückgehen; es hat lediglich mit der Numerierung der Zustände zu tun.) Von jedem Zustand geht genau ein Pfeil aus, und genau ein Pfeil endet darin. Das ist ein zulässiges Gesetz

Gesetz 1.3

$N(n+1) = N(n) +2$ : Bei diesem Gesetz „überspringen“ wir jeweils einen Zustand. Von einem Zustand mit einer geraden Nummer landen wir wieder bei einem Zustand mit einer geraden Nummer. Dasselbe gilt für die Zustände mit den ungeraden Nummern. Wir haben also zwei völlig getrennte Bereiche von Zuständen, die man nicht verlassen kann. Das Gesetz ist zulässig, denn Vergangenheit und Zukunft der Zustände sind eindeutig zu bestimmen.

Gesetz 1.4

$N(n+1) = N(n)^2$ : Dies ist kein zulässiges Gesetz. Es ist zwar deterministisch. Aber z.B. wird der Zustand $4$ von zwei Zuständen in der Vergangenheit erreicht, und zwar $-2$ und $+2$ . Weiterhin haben (unendlich) viele Zustände gar keine Vergangenheit (einen einlaufenden Pfeil), nämlich alle Zustände, die keine Quadratzahl als Bezeichner haben. Das Gesetz ist nicht reversibel!

Gesetz 1.5

$N(n+1) = -1^{N(n)} N(n)$ : Das sieht etwas kompliziert aus. Untersuchen wir ein paar Fälle:

$N(n) = 0$ . Der nächste Zustand ist dann $N(n+1)= -1^0 \cdot 0 = 0$ . Hier passiert also nicht viel.
$N(n) = 1$ . Die nächsten Zustände sind $N(n+1)= -1^1 \cdot 1 = -1$ , und $N(n+2) = -1^1 \cdot (-1) = 1$ . Wir springen also zwischen $-1$ und $+1$ hin und her. Wir beginnen etwas zu ahnen…
Versuchen wir es mit dem allgemeinen Fall $N(n) = k$ . Es folgt $N(n+1) = -1^k \cdot k = \pm k$ , je nachdem, ob $k$ gerade oder ungerade ist.

Es gilt also: Ist $k$ eine gerade Zahl, so ist der nächste Zustand wieder $k$ . Ist $k$ ungerade, so springt man zwischen $k$ und $-k$ hin und her. Das Gesetz ist sowohl deterministisch als auch reversibel und damit zulässig.

2 Kommentare

Rainer Wolf sagt:

29. Januar 2021 um 22:39 Uhr

Bei Gesetz 1.3 muss es statt „Von einem Zustand mit einer geraden Nummer landen wir wieder bei einem Zustand mit einer ungeraden Nummer“ heißen: „Von einem Zustand mit einer geraden Nummer landen wir wieder bei einem Zustand mit einer geraden Nummer“

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Heiko Sippel sagt:

2. Februar 2021 um 07:43 Uhr

Habe ich korrigiert, vielen Dank für den Hinweis!

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Aufgabe 1.1

Lösung:

Aufgabe 1.2

Lösung:

Aufgabe 1.3

Lösung:

Gesetz 1.2

Gesetz 1.3

Gesetz 1.4

Gesetz 1.5

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